Cada
bastão contém bolas móveis, que podem ser movidas para cima e para baixo.
Assim, de acordo com o número de bolas na posição inferior, temos um valor
representado. Pode haver variações, como na figura ao lado, onde se fazem divisões na
moldura e o número de bolas é alterado. Observe que na figura temos o número
6302715408 (por exemplo 8=5+3, com a parte superior representando múltiplos de
5, neste caso 0, 5 e 10).
Estrutura
com hastes metálicas divididas em duas partes, das quais uma tem duas contas e
a outra, cinco contas, que deslizam nessas hastes. Os ábacos orientais dispõem
de varas verticais divididas em dois, com as contas sobre a barra tendo o valor
cinco vezes superior aos das contas abaixo. O suanpan chinês dispõe de duas contas
acima da barra ou divisor e cinco abaixo. O moderno soroban japonês
por outro lado, tem uma conta acima e quatro abaixo do divisor.
Algumas
hastes podem ser reservadas pelo operador para armazenar resultados
intermediários. Desta forma, poucas guias são necessárias, já que o ábaco é
usado mais como um reforço de memória enquanto o usuário faz as contas de cabeça.
Exemplo
de cálculo
O
cálculo começa à esquerda, ou na coluna mais alta envolvida em seu cálculo, e
trabalha da esquerda para a direita. Assim, se tiver 548 e desejar somar 637,
primeiro colocará 548 na calculadora. Daí, adiciona 6 ao 5. Segue a regra ou
padrão 6 = 10 - 4 por remover o 5 na vara das centenas e adicionar 1 na mesma
vara (-5 + 1 = -4) daí, adicione uma das contas de milhares à vara à esquerda.
Daí, passa a somar o três ao quatro, o sete ao oito, e no ábaco aparecerá a
resposta: 1.185.
Devido
a operar assim, da esquerda para a direita, pode começar seu cálculo assim que
saiba o primeiro dígito. Na aritmética mental ou escrita, calcula a partir das
unidades ou do lado direito do problema.
História
Figura
de um ábaco usado na Idade Média.
O
ábaco é um antigo instrumento de cálculo, que segundo muitos historiadores foi
inventado na Mesopotâmia, pelo menos em sua forma primitiva e depois os
chineses e romanos o aperfeiçoaram.
Daí,
uma variedade de ábacos foram desenvolvidos; o mais popular utiliza uma
combinação de dois números-base (2 e 5) para representar números decimais. Mas
os mais antigos ábacos usados primeiro na Mesopotâmia e depois na Grécia e
no Egipto por escrivães usavam números sexagesimais representados por factores de 5,
2, 3 e 2 por cada dígito.
A
palavra ábaco originou-se do Latim abacus, e esta
veio do grego abakos. Esta era um derivado
da forma genitiva abax (lit. tábua
de cálculos). Porque abax tinha também o sentido de tábua
polvilhada com terra ou pó, utilizada para fazer figuras geométricas,
alguns linguistas especulam que tenha vindo de uma língua semítica (o púnico abak, areia, ou
o hebreu ābāq (pronunciado a-vak),areia).
Figura
da disputa entre um abacista versus um algorista por
Latim abacus. O plural do inglêsabacus é controverso,
mas abacuses eabaci estão em uso.
Ábaco
mesopotâmico
O
primeiro ábaco foi quase de certeza construído numa pedra lisa coberta por
areia ou pó. Palavras e letras eram desenhadas na areia; números eram
eventualmente adicionados e
bolas de pedra eram utilizadas para ajuda nos cálculos. Os babilóniosutilizavam
este ábaco em 2700–2300 a.C.. A origem do ábaco de contar com bastões é
obscuro, mas a Índia,
aMesopotâmia ou
o Egito são
vistos como prováveis pontos de origem.A China desempenhou um papel
importante no desenvolvimento do ábaco.
Ábaco
babilónio
Os
babilónios podem ter utilizado o ábaco para operações de adição e subtracção.
No entanto, este dispositivo primitivo provou ser difícil para a utilização em
cálculos mais complexos.[6] Algumas
pessoas conhecem um caracter do alfabeto cuneiforme babilónio que pode ter sido
derivado de uma representação do ábaco.[7] Por
isso esse ábaco é muito importante.
Ábaco
egípcio
O
uso do ábaco no antigo Egito é mencionado pelo historiador
grego Crabertotous, que escreve sobre
a maneira do uso de discos (ábacos) pelos egípcios, que era oposta na direção
quando comparada com o método grego. Arqueologistas encontraram discos antigos
de vários tamanhos que se pensam terem sido usados como material de cálculo. No
entanto, pinturas de parede não foram descobertas, espalhando algumas dúvidas sobre
a intenção de uso deste instrumento.
Ábaco
grego
Uma
tábua encontrada na ilha grega de Salamina em 1846 data de 300 a.C.,
fazendo deste o mais velho ábaco descoberto até agora. É um ábaco de mármore de
149 cm de comprimento, 75 cm de largura e de 4,5 cm de
espessura, no qual existem 5 grupos de marcações. No centro da tábua existe um
conjunto de 5 linhas paralelas igualmente divididas por uma linha vertical,
tampada por um semicírculo na intersecção da linha horizontal mais ao canto e a
linha vertical única. Debaixo destas linhas, existe um espaço largo com uma
rachadura horizontal a dividi-los. Abaixo desta rachadura, existe outro grupo
de onze linhas paralelas, divididas em duas secções por uma linha perpendicular
a elas, mas com o semicírculo no topo da intersecção; a terceira, sexta e nona
linhas estão marcadas com uma cruz onde se intersectam com a linha vertical.
Ábaco
romano
Ábaco
romano reconstruído.
O
método normal de cálculo na Roma antiga, assim como na Grécia antiga, era mover
bolas de contagem numa tábua própria para o efeito. As bolas de contagem
originais denominavam-se calculi. Mais tarde, e na Europa medieval,
os jetons começaram a ser manufacturados. Linhas marcadas
indicavam unidades, meias dezenas, dezenas, etc., como na numeração romana. O sistema de contagem
contrária continuou até à queda de Roma, assim como na Idade Média e
até ao século XIX, embora já com uma utilização mais limitada.
Em
adição às mais utilizadas bolas de contagem frouxas, vários espécimens de um
ábaco romano foram encontrados, mostrados aqui em reconstrução. Tem oito longos
sulcos contendo até 5 bolas em cada e 8 sulcos menores tendo tanto uma como
nenhuma bola.
Nos
sulcos menores, o sulco marcado I marca unidades, o X dezenas e assim
sucessivamente até aos milhões. As bolas nos sulcos menores marcam os cincos - cinco
unidades, cinco dezenas, etc. - essencialmente baseado na numeração romana. As duas últimas colunas de
sulcos serviam para marcar as subdivisões da unidade monetária. Temos de ter em
conta que a unidade monetária se subdividia em 12 partes, o que implica que o
sulco longo marcado com o sinal 0(representando os múltiplos da onça ou
duodécimos da unidade monetária) comporte um máximo de 5 botões, valendo cada uma
1 onça, e que o botão superior valha 6 onças. Os sulcos mais pequenos à direita
são fracções da onça romana sendo respectivamente, de cima para baixo, ½ onça,
¼ onça e ⅓ onça.
Ábaco
indiano
Fontes
do século I,
como a Abhidharmakosa, descrevem a sabedoria e o uso do ábaco
na Índia. Por
volta do século V, escrivães indianos estavam já à procura
de gravar os resultados do Ábaco. Textos hindus usavam
o termo shunya (zero)
para indicar a coluna vazia no ábaco.
Ábaco
chinês
Suanpan
(o número representado na figura é 6.302.715.408).
A
menção mais antiga a um suanpan (ábaco chinês) é encontrada
num livro do século I da Dinastia Han Oriental, o Notas
Suplementares na Arte das Figuras escrito por Xu Yue.No entanto, o
aspecto exacto deste suanpan é desconhecido.
Habitualmente,
um suanpan tem cerca de 20 cm de altura e vem em variadas
larguras, dependendo do fabricante. Tem habitualmente mais de sete hastes.
Existem duas bolas em cada haste na parte de cima e cinco na parte de baixo,
para números decimais ehexadecimais. Ábacos mais modernos tem uma bola na
parte de cima e quatro na parte de baixo. As bolas são habitualmente redondas e
feitas em madeira. As bolas são contadas por serem movidas para cima ou para
baixo. Se as mover para o alto, conta-lhes o valor; se não, não lhes conta o
valor. O suanpan pode voltar à posição inicial
instantaneamente por um pequeno agitar ao longo do eixo horizontal para afastar
todas as peças do centro.
Os suanpans podem
ser utilizados para outras funções que não contar. Ao contrário do simples
ábaco utilizado nas escolas, muitas técnicas eficientes para o suanpan foram
feitas para calcular operações que utilizam a multiplicação, a divisão,
a adição,
a subtracção, a raiz
quadrada e a raiz cúbica a
uma alta velocidade.
No
famoso quadro Cenas à Beira-mar no Festival de Qingming pintado
por Zhang Zeduan (1085-1145) durante a Dinastia
Song (960-1297), um suanpan é
claramente visto ao lado de um livro de encargos e de prescrições do doutor na
secretária de um apotecário.
A
similaridade do ábaco romano com o suanpan sugere que um pode
ter inspirado o outro, pois existem evidências de relações comerciais entre o
Império Romano e a China. No entanto, nenhuma ligação directa é passível de ser
demonstrada, e a similaridade dos ábacos pode bem ser concidência, ambos
derivando da contagem de cinco dedos por mão. Onde o modelo romano tem 4 mais 1
bolas por espaço decimal, o suanpan padrão tem 5 mais 2,
podendo ser utilizado com números hexadecimais, ao contrário do romano. Em vez
de funcionar em cordas como os modelos chinês e japonês, o ábaco romano
funciona em sulcos, provavelmente fazendo os cálculos mais difíceis.
Outra
fonte provável do suanpan são as pirâmides numéricas chinesas,
que operavam com o sistema decimal mas não incluiam o conceito de zero. O zero
foi provavelmente introduzido aos chineses na Dinastia
Tang (618-907), quando as viagens no Oceano
Índico e no Médio
Oriente teriam dado contacto directo com a Índia e
o Islão,
permitindo-lhes saber o conceito de zero e do ponto
decimal de mercantes e matemáticos indianos e islâmicos.
O suanpan migrou
da China para a Coreia em
cerca do ano 1400.
Os coreanos chamam-lhe jupan (주판), supan (수판) or jusan (주산).[14]
Ábaco
japonês
Soroban
japonês.
Um soroban (算盤, そろばん, lit. tábua de contar) é uma versão
modificada pelos japoneses do suanpan. É planeado do suanpan,
importado para o Japão antes
do século XVI.[15] No
entanto, a idade de transmissão exacta e o meio são incertos porque não existem
registos específicos.[16][17] Como
osuanpan, o soroban ainda hoje é utilizado no Japão,
apesar da proliferação das calculadoras de bolso, mais baratas.
A
Coreia tem também o seu próprio, o supan (수판), que é basicamente o soroban antes de tomar a sua
actul forma nos anos 30. O soroban moderno também
tem este nome.[18]
Ábacos
dos nativos americanos
Representação
de um quipu Inca.
Algumas
fontes mencionam o uso de um ábaco chamado nepohualtzintzin na
antiga cultura azteca. Este ábaco mesoamericano utiliza um sistema de base 20
com 5 dígitos.
O quipu dos
Incas era um sistema de cordas atadas usado para gravar dados numéricos, como
varas de registo avançadas - mas não eram usadas para fazer cálculos. Os
cálculos eram feitos utilizando uma yupana (quechua para tábua
de contar), que estava ainda em uso depois da conquista do Peru. O princípio
de trabalho de uma yupana é desconhecido, mas, em 2001, uma explicação para a base
matemática deste instrumento foi proposta. Por comparação à forma de
várias yupanas, os investigadores descobriram que os cálculos eram
baseados na sequência Fibonnaci, utilizando
1,1,2,3,5 e múltiplos de 10, 20 e 40 para os diferentes campos do instrumento.
Utilizar a sequência Fibonnaci manteria o número de bolas num campo no mínimo.
Ábaco
russo
Ábaco
russo.
O
ábaco russo, o schoty (счёты), normalmente tem apenas um lado
comprido, com 10 bolas em cada fio (excepto um que tem 4 bolas, para fracções
de quartos de rublo). Este costuma estar do lado do utilizador. (Modelos mais
velhos têm outra corda com 4 bolas, para quartos de kopeks, que eram emitidos
até 1916.
O ábaco russo é habitualmente utilizado na vertical, com os fios da esquerda
para a direita ao modo do livro. As bolas são normalmente curvadas para se
moverem para o outro lado no centro, em ordem para manter as bolas em cada um
dos lados. É clarificado quando as bolas se devem mover para a direita. Durante
a manipulação, as bolas são movidas para a direita. Para mais fácil
visualização, as duas bolas do meio de cada corda (a 5ª e a 6ª; no caso da
corda excepção, a 3ª e a 4ª) costumam estar com cores diferentes das outras
oito. Como tal, a bola mais à esquerda da corda dos milhares (e dos milhões, se
existir) costuma também estar pintada de maneira diferente.
O
ábaco russo estava em uso em todas as lojas e mercados de toda a antiga União Soviética, e o uso do ábaco era ensinado em
todas as escolas até aos anos 90.
Hoje é visto como algo arcaico e foi substituído pela calculadora. Na escola, o
uso da calculadora é ensinado desde os anos 90.
Ábaco
escolar
Ábaco
escolar utilizado numa escola primária dinamarquesa, do século XX.
Em
todo o mundo, os ábacos têm sido utilizados na educação infantil e na educação básica como uma ajuda ao ensino
do sistema numérico e da aritmética.
Nos países ocidentais, uma tábua com bolas similar ao ábaco russo mas com fios
mais direitos e um plano vertical tem sido comum (ver imagem).
O
tipo de ábaco aqui mostrado é vulgarmene utilizado para representar números sem
o uso do lugar da ordem dos números. Cada bola e cada fio tem exactamente o
mesmo valor e, utilizado desta maneira, pode ser utilizado para representar
números acima de 100.
A
vantagem educacional mais significante em utilizar um ábaco, ao invés de bolas
ou outro material de contagem, quando se pratica a contagem ou a adição
simples, é que isso dá aos estudantes uma ideia dos grupos de 10 que são a base
do nosso sistema numérico. Mesmo que os adultos tomem esta base de 10 como
garantida, é na realidade difícil de aprender. Muitas crianças de 6 anos
conseguem contar até 100 de seguida com somente uma pequena consciência dos
padrões envolvidos.
Usos
pelos deficientes visuais
Um
ábaco adaptado, inventado por Helen Keller e chamado de Cranmer, é
ainda utilizado por deficientes
visuais. Um pedaço de fabrico suave ou borracha é colocado detrás
das bolas para não moverem inadvertidamente. Isto mantém as bolas no sítio
quando os utilizadores as sentem ou manipulam. Elas utilizam um ábaco para
fazer as funções matemáticas multiplicação, divisão, adição, subtracção, raíz
quadrada e raíz cúbica.
Embora
alunos deficientes visuais tenham beneficiado de calculadoras falantes, o uso
do ábaco é ainda ensinado a estes alunos em idades mais novas, tanto em escolas
públicas como em escolas privadas de ensino especial. O ábaco ensina
competências matemáticas que nunca poderão ser substituídas por uma calculadora
falante e é uma ferramenta de ensino importante para estudantes deficientes
visuais. Os estudantes deficientes visuais também completam trabalhos de
matemática utilizando um escritor de Braille e de código Nemeth (uma espécie de
código Braille para a matemática), mas as multplicações largas e as divisões
podem ser longas e difíceis. O ábaco dá a estudantes deficientes visuais e
visualmente limitados uma ferramenta para resolver problemas matemáticos que
iguala a velocidade dos seus colegas sem problemas visuais utilizando papel e
lápis. Muitas pessoas acham esta uma máquina útil durante a sua vida.
Curiosidades
Foi
mostrado que alunos chineses conseguem fazer contas complexas com um ábaco,
mais rapidamente do que um ocidental equipado com uma moderna calculadoraelectrónica.
Embora a calculadora apresente a resposta quase instantaneamente, os alunos
conseguem terminar o cálculo antes mesmo de seu competidor acabar de digitar osalgarismos no
teclado da calculadora.[19]
Figuras
medievais do uso do ábaco
Fonte: pt.wikipedia.org/wiki/Ábaco
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